Уравнение
From Wikipedia, the free encyclopedia
В математиката уравнението представлява два математически израза, свързани помежду си със знак за равенство. То може да съдържа една или повече променливи. Решаването на уравнението се състои в намирането на стойностите на променливите, за които равенството е изпълнено. Променливите се наричат също така неизвестни, а стойностите, за които равенството е изпълнено – решения на уравнението. В различните езици значението на думата може да има различни значения[2]. За разлика от тъждеството, което винаги е изпълнено за всички стойности на променливата, уравнението е равенство, което не е задължително изпълнено за всички възможни стойности на променливата, а само за определени такива.[3]
Съществува голямо разнообразие от уравнения, които намират приложение в различни области на математиката, като методите за тяхното решаване се различават в зависимост от вида на уравнението.
В алгебрата се разглеждат две основни групи уравнения – полиномните уравнения и системите линейните уравнения. Полиномните уравнения имат общия вид P(х) = 0, където P е полиномна функция, а системите линейни уравнения – a(x) + b = 0, където a линейно изображение, а b и неизвестното x са вектори. За решаването на алгебричните уравнения се използват алгоритмични или геометрични методи, базирани на линейната алгебра или математическия анализ.
Алгебрата изследва и диофантовите уравнения, при които коефициентите и решенията са цели числа, като при тях се използват различни методи, основани на аритметиката. Тези уравнения обикновено са трудни и най-често при тях се търси само дали съществуват решения и какъв е техният брой.
В геометрията уравненията се използват за описване на различни геометрични обекти. Тук целта не е намирането на решения, а демонстрирането и изследването на определени геометрични свойства. В тази област приложение намират две големи групи уравнения – декартови и параметрични.
Математическият анализ изследва уравнения от вида f(x) = 0, където f е функция с определени свойства, като непрекъснатост и диференцируемост. Методите за решаване на тези уравнения дават възможност за конструиране на сходящи поредици от решения, като целта е да се достигне до възможно най-точното решение.
Динамичните системи се дефинират чрез уравнения, чиито решения са редици или функции на една или повече променливи. В този контекст се разглеждат два основни въпроса – за началното състояние и за асимптотичното поведение. За всяко допустимо начално състояние, например стойността на редицата или функцията в нулата, уравнението допуска определено единствено решение. Чувствителността на решенията към малки промени в началното състояние е една от основните задачи. Асимптотичното поведение на дадено решение е формата на решението при стойности на променливата, клонящи към минус или плюс безкрайност. Ако решението не е разходящо, то може да клони към дадена стойност, да има цикличен характер или да има хаотично поведение.