Grup ortogonal
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, grupul ortogonal în n dimensiuni, notat O(n), este grupul de transformări de conservare a distanței a spațiului euclidian de dimensiune n și a unui punct fix, originea. Legea de compoziție a grupului este dată de compunerea aplicațiilor (funcțiilor). Grupul ortogonal este uneori numit grup ortogonal general, prin analogie cu grupul liniar general. În mod echivalent, este grupul de n×n matrice ortogonale, unde legea de compoziție este dată de Înmulțirea matricilor (o matrice ortogonală este o matrice reală a cărei inversă este egală cu transpusa sa). Grupul ortogonal este atât un grup algebric cât și un grup Lie.[1] Este grup compact.
Grupul ortogonal în n dimensiuni are două componente conectate. Componenta care conține elementul neutru este un subgrup, numit grup ortogonal special, și notat SO(n)[1]. Se compune din toate matricile ortogonale cu determinantul 1. Acest grup este, de asemenea, numit grup de rotație[1], generalizând faptul că în dimensiunile 2 și 3, elementele sale sunt rotații obișnuite în jurul unui punct (în bidimensional) sau drepte (în tridimensional). În dimensiunile inferioare aceste grupuri au fost studiate pe scară largă, a se vedea SO(2), SO(3) și SO(4). În cealaltă componentă conectată, toate matricile ortogonale au ca determinant –1.
Prin extensie, pentru orice domeniu F, o matrice n×n cu valori din F astfel încât inversa sa să fie egală cu transpusa sa se numește matrice ortogonală pe F. Matricele ortogonale n×n formează un subgrup, notat O(n, F), al grupului liniar general GL(n, F); adică
Mai general, având în vedere forma biliniară simetrică sau forma pătratică nedegenerată — pentru corpurile de bază cu caracteristica diferită de 2, definiția în termenii formei biliniare simetrice este echivalentă cu cea în termenii formei pătratice, dar în cazul caracteristicii 2 aceste noțiuni diferă — pe un spațiu vectorial peste un corp, grupul ortogonal al formei este grupul de aplicații liniare inversabile care conservă forma. Grupurile ortogonale precedente sunt cazul particular în care, într-o anumită bază, forma biliniară este produsul scalar, sau, în mod echivalent, forma pătratică este suma pătratelor coordonatelor.
Toate grupurile ortogonale sunt grupuri algebrice, întrucât condiția păstrării unei forme poate fi exprimată drept o egalitate a matricilor.