Número p-ádico
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En matemáticas, el sistema numérico p-ádico para cualquier número primo p extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente a la extensión de los números racionales a los sistemas numéricos real y complejo. La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de cercanía o valor absoluto. En particular, se considera que dos números p-ádicos están cerca cuando su diferencia es divisible por una potencia elevada de p: cuanto mayor es la potencia, más cerca están. Esta propiedad permite que los números p-ádicos codifiquen la información de congruencia de una manera que resulta tener aplicaciones de gran alcance en teoría de números, incluida, por ejemplo, la famosa demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles.[1]
Estos números fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, aunque[2], en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como el uso implícito de números p-ádicos.[nota 1] Los números p-ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de las series de potencias a la teoría de números. Su influencia ahora se extiende mucho más allá de este propósito inicial. Por ejemplo, el cuerpo del análisis p-ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo infinitesimal.
Más formalmente, para un primo p dado, el cuerpo de los números p-ádicos es una compleción métrica de los números racionales en la norma o valor absoluto p-ádic0 . El cuerpo también recibe una topología derivada de una métrica, que a su vez se deriva del orden p-ádico, una valoración alternativa en los números racionales. Este espacio métrico es completo en el sentido de que cada sucesión de Cauchy converge hasta un punto en . Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo en , y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica lo que le da a los sistemas numéricos p-ádicos su gran utilidad.
La letra p en p-ádico es una variable y puede ser reemplazada por un número primo (lo que produce, por ejemplo, los números 2-ádicos) u otra expresión que represente a un número primo. El término "ádico" de "p-ádico" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádico o triádico.