Espacio métrico
conjunto que lleva asociada una función distancia / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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En matemática, un espacio métrico es un conjunto que lleva asociada una función distancia, es decir, que esta función está definida sobre dicho conjunto, cumpliendo propiedades atribuidas a la distancia, de modo que para cualquier par de puntos del conjunto, estos están a una cierta distancia asignada por dicha función.
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En particular, cualquier espacio métrico será, además, un espacio topológico porque cualquier función de distancia definida sobre un conjunto dado induce una topología sobre dicho conjunto. Se trata de la topología inducida por las bolas abiertas asociadas a la función distancia del espacio métrico.
El ejemplo más conocido de espacio métrico es el espacio euclídeo tridimensional con su noción habitual de distancia. Otros ejemplos conocidos son una esfera dotada de la distancia angular y el plano hiperbólico. Una métrica puede corresponder a una noción metafórica, más que física, de distancia: por ejemplo, el conjunto de cadenas Unicode de 100 caracteres puede equiparse con la distancia de Hamming, que mide el número de caracteres que hay que cambiar para pasar de una cadena a otra.
Dado que son muy generales, los espacios métricos son una herramienta utilizada en muchas ramas diferentes de las matemáticas. Muchos tipos de objetos matemáticos tienen una noción natural de distancia y, por lo tanto, admiten la estructura de un espacio métrico, incluyendo la variedad de Riemann, espacio vectorial normados y grafos. En álgebra abstracta, los p-ádicos surgen como elementos de la completitud de una estructura métrica sobre los números racionales. Los espacios métricos también se estudian por derecho propio en geometría métrica[1] y análisis sobre espacios métricos.[2].
Muchas de las nociones básicas del análisis matemático, incluyendo bolas, completitud, así como uniforme, Lipschitz, y continuidad de Hölder, pueden definirse en el entorno de espacios métricos. Otras nociones, como continuidad, compacidad, y abierto y conjunto cerrado, pueden definirse para espacios métricos, pero también en el entorno aún más general de espacio topológico.