Geometría algebraica
una rama de la matemática que combina el álgebra abstracta con la geometría analítica / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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La geometría algebraica es una rama de la matemática que, como sugiere su nombre, combina el álgebra abstracta, especialmente el álgebra conmutativa, con la geometría analítica. Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas. Cuando hay más de una variable, aparecen las consideraciones geométricas que son importantes para entender el fenómeno. Se puede decir que la materia en cuestión comienza cuando se abandona la mera solución de ecuaciones, y el tema de "entender" todas las soluciones se vuelve tan importante como el de encontrar alguna solución, lo que lleva a las "aguas más profundas" del mundo de la matemática, tanto conceptual como técnicamente.
Los objetos fundamentales de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas, que son manifestaciones geométricas de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas. Ejemplos de las clases más estudiadas de variedades algebraicas son líneas rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, curvas cúbicas como las curvas elípticas, y curvas cuárticas como las lemniscatas y el óvalo de Cassini. En estas curvas algebraicas planas, un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinómica dada. Las cuestiones básicas se refieren al estudio de los puntos de especial interés como los puntos singulares, los puntos de inflexión y los puntos en el infinito. Cuestiones más avanzadas involucran la topología de la curva y las relaciones entre las curvas dadas por diferentes ecuaciones.
La geometría algebraica ocupa un lugar central en las matemáticas modernas y tiene múltiples conexiones conceptuales con campos tan diversos como el análisis complejo, la topología y la teoría de números. Inicialmente un estudio de sistemas de ecuaciones polinómicas en varias variables, el tema de la geometría algebraica comienza a partir de donde alcanza la resolución de ecuaciones, y se vuelve aún más importante comprender las propiedades intrínsecas de la totalidad de las soluciones de un sistema de ecuaciones que encontrar una solución específica. Esto conduce a algunas de las áreas más profundas de todas las matemáticas, tanto conceptualmente como en términos de técnica.