Împărțirea cu zero
From Wikipedia, the free encyclopedia
Împărțirea cu zero sau împărțirea la zero este împărțirea în care împărțitorul (sau divizorul) este zero.
Formal, o astfel de împărțire poate fi exprimată sub forma unei fracții de tipul a/0, unde a este numărătorul fracției sau deîmpărțitul operației. În aritmetica elementară, expresia reprezentând împărțirea la zero nu are sens, întrucât nu există niciun număr care multiplicat cu zero să dea rezultatul a (pentru orice a nenul, ori a ≠ 0). Ca atare, împărțirea la zero este o operație nedefinită.
Însă împărțind un număr a la un număr n foarte mic, adică în vecinătatea lui zero (de exemplu o milionime), se poate da un sens fracției anterioare, locul lui 0 fiind luat de numărul n foarte mic apropriat de zero a/n. Acesta este un exemplu de aproximare a unui număr printr-un șir de numere progresiv descrescătoare spre numărul dat, constituind o trecere la limita unui șir numeric convergent. Împărțirea cu acest număr foarte mic dă un număr foarte mare. Cu cât numărul variabil de la numitor este mai mic, adică este mai apropriat de zero, cu atât rezultatul împărțirii este mai mare. Valorea limită infinit se obține prin micșorarea nelimitată a numărului foarte mic n.
Din moment ce orice număr înmulțit (multiplicat) cu zero este zero, expresia 0/0 este de asemenea nedefinită, iar atunci când se prezintă sub forma unei limite, devine una din formele de nedeterminare.
Istoric, una dintre cele mai timpurii referințe la imposibilitatea matematică de a conferi o valoare exactă operației reprezentate de împărțirea cu zero (a/0) este conținută în lucrarea lui George Berkeley din 1734, The Analyst ("ghosts of departed quantities" - „fantome ale cantităților pierdute”), o lucrare critică la adresa calcului infinitezimal.[1]
Există structuri matematice în care operația a/0 este definită pentru unele din numerele "a", așa cum ar fi în sfera Riemann și dreapta proiectivă reală extinsă(d); totuși, astfel de structuri nu pot satisface nici o regulă obișnuită din aritmetică (vezi axiome pentru corpuri).
În programele calculatoarelor, o eroare de program poate rezulta dintr-o încercare de a diviza cu zero. În funcție de mediul de programare și de tipul numărului (de exemplu, în cazul virgulei mobile sau a unui număr întreg) este împărțit la zero, poate genera infinit (pozitiv sau negativ) de către standardul de virgulă mobilă IEEE 754, generează prin excepție un mesaj de eroare, care este cauza terminării programului, rezultând o valoare specială precum o valoare de tipul NaN, sau o blocare(d) via unei bucle infinite sau ca rezultat al unei căderi(d).
Chiar dacă împărțirea cu zero nu are sens în mulțimea numerelor reale, studiul acestei probleme conduce la noi considerații atât matematice, cât și filozofice în ceea ce privește concepte de bază ca: număr, mulțime, calcul etc.