Ideal (teoria inelelor)
subgrup aditiv al unui inel închis sub înmulțire cu un element oarecare al inelului / From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, mai exact în teoria inelelor(d), un ideal[1][2] (plural: ideale[1][2]) al unui inel este o submulțime particulară a elementelor sale. Idealele generalizează anumite submulțimi de numere întregi, cum ar fi numerele pare sau multiplii lui 3. Adunarea și scăderea numerelor pare conservă egalitatea și înmulțirea unui număr par cu orice număr întreg (par sau impar) rezultă un număr par; aceste închideri și proprietăți de absorbție sunt proprietățile care definesc un ideal. Un ideal poate fi folosit pentru a construi un inel factor similar cu modul în care în teoria grupurilor un subgrup normal(d) poate fi folosit pentru a construi un grup factor.
În numerele întregi, idealele corespund biunivoc cu numerele întregi nenegative: în acest inel, orice ideal este un ideal principal format din multiplii unui singur număr nenegativ. Totuși, în alte inele idealele pot să nu corespundă direct elementelor inelului, iar anumite proprietăți ale numerelor întregi, atunci când sunt generalizate la inele, se atașează mai natural la ideale decât la elementele inelului. De exemplu, idealele prime ale unui inel sunt analoge cu numerele prime, iar teorema chinezească a resturilor poate fi generalizată la ideale. Există o versiune a factorizării prime unice pentru idealele unui inel Dedekind(d) (un tip de inel important în teoria numerelor).
Conceptul înrudit, dar distinct, al unui ideal(d) în teoria ordinii(d) este derivat din noțiunea de ideal din teoria inelelor. Un ideal fracționar este o generalizare a unui ideal, iar pentru claritate idealele obișnuite sunt uneori numite ideale întregi[3].