Axiomas de Peano
O primeiro axioma afirma a existência de um número natural inicial, geralmente denotado por 1 / De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
Em lógica matemática, os axiomas de Peano, também conhecidos como os axiomas de Dedekind-Peano ou postulados de Peano, são um conjunto de axiomas para os números naturais apresentado pelo matemático italiano do século XIX Giuseppe Peano. Esses axiomas vêm sendo utilizados praticamente sem modificações em diversas investigações metamatemáticas, incluindo pesquisas em questões fundamentais de consistência e completude da teoria dos números.
A necessidade do formalismo na Aritmética não era apreciada até o trabalho de Hermann Grassmann, que mostrou na década de 1860 que muitos fatos da aritmética poderiam ser derivados de fatos mais básicos sobre operação de sucessor e indução.[1] Em 1881, Charles Sanders Peirce mostrou uma forma de axiomatização da aritmética de números naturais.[2] Em 1888, Richard Dedekind propôs uma coleção de axiomas sobre os números, e em 1889 Peano publicou uma versão mais precisamente formulada das anteriores, em uma coleção de axiomas no seu livro, "Os princípios da Aritmética apresentados por um novo método" (Em Latim: Arithmetices principia, nova methodo exposita).
Os axiomas de Peano contêm três tipos de declarações. O primeiro axioma afirma a existência de pelo menos um membro no conjunto "números". As quatro seguintes são afirmações gerais a respeito de igualdade; em tratamentos modernos, estes geralmente não são tomados como parte dos axiomas de Peano, mas sim como axiomas da "lógica subjacente".[3] Os próximos três axiomas são declarações da Lógica de primeira ordem sobre números naturais expressando as propriedades fundamentais da operação de sucessor. O nono e último axioma, é uma declaração da lógica de segunda ordem do princípio da indução matemática sobre os números naturais. Um sistema de primeira ordem mais "fraco" chamado aritmética de Peano é obtido ao adicionar os símbolos de adição e multiplicação e substituir o axioma de indução em segunda ordem por um esquema axiomático de primeira ordem.