Sfærisk trekant
From Wikipedia, the free encyclopedia
En sfærisk trekant er en trekant på overflaten av en kule. Den ligger slik at dens sider utgjøres av storsirkler på kuleflaten. Hjørnene i trekanten er gitt ved skjæringspunkter mellom storsirklene og betegnes med A, B og C i figuren til høyre. Den indre vinklen til trekanten i hjørnet A betegnes med den greske bokstaven α. Det er den dihedral vinkelen mellom de to planene som inneholder storsirklene gjennom punktet A. Det tilsvarer vinkelen mellom de to tangentene i det samme punktet langs sirkelbuene AB og AC. På samme måte er trekantvinklene β og γ definert. Er en av disse hjørnevinklene lik 90°, kalles trekanten for rettvinklet.
Siden AB i trekanten er motsatt hjørnet C. Sett fra sentrum i kulen spenner den ut en vinkel som betegnes med den latinske bokstaven c. Er radius i kulen R, er lengden av denne trekantsiden AB = c⋅R. På samme måte er BC = a⋅R og CA = b⋅R. Ofte angis størrelsen på sidene i trekanten kun ved vinklene a, b og c som i figuren. Det tilsvarer at man betrakter en sfærisk trekant på en kule som har radius R = 1. I denne notasjonen sies en sfærisk trekant med minst en sidekant lik 90° å være rettsidet.
For hvert av hjørnepunktene i trekanten er det tre antipodale skjæringspunkt A' , B' og C' som ligger diametralt motsatt hjørnene A, B og C. Trekanten A'B'C' kalles den inverse trekanten til ABC. Det er i alt seks slike skjæringspunkt mellom tre storsirkler slik at de gir til sammen åtte trekanter på kuleflaten. De resterende seks er A'BC, AB'C, ABC' , A'B'C, AB'C' og A'BC' . Størrelsen av de indre vinklene i disse trekantene vil hver ligge mellom 0° og 180°. Summen av vinklene i en trekant må derfor være mindre en 540°. Den må også være større enn 180° som man kan se ved å la den ene vinkelen i trekanten bli veldig liten. Det tilsvarer at vinkelsummen α + β + γ ligger mellom π og 3π radianer. Fra kravet om at hver hjørnevinkel skal være mindre enn π, følger at hver side i trekanten også må være mindre enn π. Derfor kan ikke summen a + b + c av sidelengdene i trekanten overstige 3π når de måles i vinkelenheter. Læren om sammenhengen mellom vinkler, sider og areal i en sfærisk trekant kalles sfærisk trigonometri.