Topología de Zariski
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En geometría algebraica y álgebra conmutativa, la topología de Zariski es una topología que se define principalmente por sus conjuntos cerrados. Es muy diferente de las topologías que se usan comúnmente en análisis real o análisis complejo; en particular, no es un espacio de Hausdorff.[1] Esta topología fue introducida principalmente por Oscar Zariski y luego generalizada para hacer del conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo (denominado espectro del anillo) un espacio topológico.
La topología de Zariski permite utilizar herramientas de topología para estudiar variedades algebraicas, incluso cuando el cuerpo subyacente no es un cuerpo topológico. Esta es una de las ideas básicas de la teoría de esquemas, que permite construir variedades algebraicas generales uniendo variedades afines de una manera similar a la teoría de variedades, que se construyen pegando atlas, que son subconjuntos abiertos de espacios afines reales.
Se define la topología de Zariski de una variedad algebraica como la topología cuyos conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad.[1] En el caso de una variedad algebraica sobre los números complejos, la topología de Zariski es, por lo tanto, menos específica que la topología habitual, ya que cada conjunto algebraico está cerrado para la topología habitual.
La generalización de la topología de Zariski al conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo se deriva del teorema de los ceros de Hilbert, que establece una correspondencia biyectiva entre los puntos de una variedad afín definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y los ideales máximos del anillo de sus funciones regulares. Esto sugiere definir la topología de Zariski sobre el conjunto de los ideales máximos de un anillo conmutativo como la topología tal que un conjunto de ideales máximos es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales máximos que contienen un ideal dado. Otra idea básica de la teoría de esquemas de Alexander Grothendieck es considerar como puntos no solo los puntos habituales correspondientes a los ideales máximos, sino también todas las variedades algebraicas (irreducibles), que corresponden a ideales primos. Así, la topología de Zariski sobre el conjunto de ideales primos (el espectro) de un anillo conmutativo es la topología tal que un conjunto de ideales primos es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo.