Алгебрична геометрія
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Алгебрична геометрія — розділ математики, який об'єднує абстрактну алгебру з геометрією. Головним предметом вивчення класичної алгебричної геометрії, а також в широкому сенсі і сучасної алгебричної геометрії, є множини розв'язків систем рівнянь, що задаються многочленами.
Алгебрична геометрія зобов'язана своєю появою потребам теорії абелевих інтегралів, в якій були отримані чудові результати, що стосуються алгебричних кривих і мають суто геометричний сенс. Наприклад, використовуючи інтеграли першого роду, К. Шварц довів, що крива, що допускає неперервну групу біраціональних перетворень у себе, біраціонально еквівалентна або прямій або еліптичній кривій.
Основний об'єкт вивчення алгебричної геометрії — алгебричні многовиди, тобто геометричні об'єкти, задані як множини розв'язків систем алгебричних рівнянь. Найкраще вивчені алгебричні криві: прямі, конічні перерізи, кубики (такі як еліптична крива) і криві більш високих порядків (приклади таких кривих — лемніскати). Базові питання теорії алгебричних кривих стосуються вивчення спеціальних точок на кривій, таких як особливі точки або точки перегину. Більш розвинені питання стосуються топології кривих і відношень між кривими, заданими диференціальними рівняннями.
Сучасна алгебрична геометрія має множинні взаємозв'язки з різними галузями математики, такими як комплексний аналіз, топологія або теорія чисел. Вивчення конкретних систем рівнянь з декількома змінними призвело до розуміння важливості дослідження загальних внутрішніх властивостей множин розв'язків довільної системи алгебричних рівнянь і, як наслідок, до глибоких результатів у багатьох розділах математики.
У XX столітті алгебрична геометрія розділилася на декілька (взаємопов'язаних) дисциплін:
- Основний напрямок алгебричної геометрії — вивчення властивостей алгебричних многовидів над алгебрично замкненим полем (зокрема, над полем комплексних чисел).
- Вивчення алгебричних многовидів над алгебричним числовим полем (або навіть над кільцем) — предмет арифметичної (або діофантової[ru]) геометрії, розділу алгебричної теорії чисел.
- Вивченням дійсних точок комплексного многовиду займається дійсна алгебрична геометрія.
- Велика частина теорії особливостей належить до вивчення особливостей алгебричних многовидів.
- На перетині алгебричної геометрії і комп'ютерної алгебри лежить обчислювальна алгебрична геометрія. Її основне завдання — створення алгоритмів і програмного забезпечення для вивчення властивостей явно заданих алгебричних многовидів.
Основний потік досліджень в алгебричній геометрії XX століття йшов за активного використання понять загальної алгебри, з акцентом на «внутрішніх» властивостях алгебричних многовидів, що не залежать від конкретного способу вкладення многовиду в деякий простір. Ключовим досягненням стала теорія схем Александра Гротендіка, що дозволила застосувати теорію пучків до дослідження алгебричних многовидів методами, подібних до вивчення диференційовних і комплексних многовидів. Це дало поштовх до розширення поняття точки: в класичній геометрії точку афінного многовиду можна було визначити як максимальний ідеал координатного кільця, тоді як всі точки відповідної афінної схеми є простими ідеалами цього кільця. Точку такої схеми можна розглядати і як звичайну точку, і як підмноговид, що дозволило уніфікувати мову та інструменти класичної геометрії. Доведення Великої теореми Ферма Ендрю Вайлсом стало одним з найяскравіших прикладів потужності такого підходу.