Serie hipergeometrică
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, în sensul cel mai general, o serie hipergeometrică este o serie de puteri în care raportul coeficienților succesivi indexați prin n, este o funcție rațională de n. Seriile, dacă sunt convergente, vor defini o funcție hipergeometrică, care poate fi extinsă în afara domeniului de definiție prin prelungire analitică. Funcțiile hipergeometrice au drept cazuri particulare foarte multe funcții speciale, incluzând funcții elementare, funcția Bessel, funcția gamma incompletă, funcția eroare, integrale eliptice, polinoame ortogonale clasice, etc. Acest fenomen se datorează faptului că funcțiile hipergeometrice sunt soluții ale ecuației diferențiale hipergeometrice, care este o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi. Termenul serie hipergeometrică se referă la un tip specific de serie, cunoscută sub denumirea de seria lui Gauss, dupa numele lui Carl Friedrich Gauss, cel care a studiat in secolul 19 aceste tipuri de funcții. O altă aplicație a seriilor hipergeometrice este inversiunea integralelor eliptice; acestea fiind construite luând raportul a doua soluții liniare independente ale ecuației diferențiale hipergeometrice, pentru a forma corespondența Schwartz-Christoffel a unui domeniu fundamental pe dreapta proiectivă complexă (sfera Riemann). O altă aplicație este fracția continuă a lui Gauss, care poate fi folosită la obținerea fracțiilor continue pentru multe funcții elementare și speciale.