Până la
exprimare în matematică cu privire la echivalență precizând condițiile / From Wikipedia, the free encyclopedia
Două obiecte matematice a și b sunt numite egale până la o relație de echivalență R
- dacă a și b sunt legate prin R, adică
- dacă aRb este valabil, adică
- dacă clasele de echivalență(d) ale lui a și b față de R sunt egale.
În imagine, „sunt 4 partiții până la rotație” înseamnă că mulțimea P are 4 clase de echivalență în raport cu R definite de aRb dacă b poate fi obținut din a prin rotație; câte un reprezentant din fiecare clasă este prezentat în imaginea din stânga jos.
Această figură de stil este folosită mai ales în legătură cu expresii derivate din egalitate, cum ar fi unicitatea sau numărarea. De exemplu, x este unic până la R înseamnă că toate obiectele x luate în considerare sunt în aceeași clasă de echivalență în ceea ce privește relația R. Un exemplu care se referă la două fracții zecimale cu valori apropiate este „fracțiile sunt egale până la a treia zecimală”.[1] Alte expresii echivalente folosite în limba română, în funcție de context, sunt:
- cât timp, ex.: cât timp x < y;
- pentru, ex.: pentru valori nenule;
- fără a lua în considerare (fără a considera, fără a enumera), ex.: fără a lua în considerare permutările.
Mai mult decât atât, relația de echivalență R este adesea desemnată destul de implicit printr-o condiție generatoare sau transformare. De exemplu, afirmația „descompunerea în factori primi a unui număr întreg este unică până la ordonare” este o modalitate concisă de a spune că oricare două liste de factori primi ai unui număr întreg dat sunt echivalente în raport cu relația R care leagă două liste dacă una poate fi obținută prin reordonarea (permutare) din cealaltă.[2]
Un alt exemplu: afirmația „soluția unei integrale nedefinite este sin(x), până la adăugarea unei constante” folosește în mod tacit relația de echivalență R între funcții , definit de fRg dacă diferența f − g este o funcție constantă și înseamnă că soluția și funcția sin(x) sunt egale cu acest R.
Relațiile de echivalență sunt adesea folosite pentru a ignora posibilele diferențe ale obiectelor, astfel încât „până la R” poate fi înțeles informal ca „ignorând aceleași subtilități pe care le ignoră și R”. În exemplul de factorizare, „până la ordonare” înseamnă „ignorarea ordinării particulare”.
În continuare sunt date și alte exemple.