Categorie (matematică)
structură algebrică / From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, o categorie (numită uneori categorie abstractă pentru a o deosebi de o categorie concretă(d)) este o colecție de „obiecte” care sunt legate prin „săgeți”. O categorie are două proprietăți de bază: capacitatea de a compune săgeți asociativ și existența unei săgeți identitate pentru fiecare obiect. Un exemplu simplu este categoria mulțimilor(d), ale căror obiecte sunt mulțimi și ale căror săgeți sunt funcții.
Teoria categoriilor este o ramură a matematicii care încearcă să generalizeze toată matematica în termeni de categorii, indiferent ce reprezintă obiectele și săgețile lor. Practic orice ramură a matematicii moderne poate fi descrisă în termeni de categorii, și această reprezentare dezvăluie adesea aspecte și similitudini profunde între domenii aparent diferite ale matematicii. Ca atare, teoria categoriilor furnizează un fundament alternativ al matematicii față de teoria mulțimilor și alte fundamente axiomatice propuse. În general, obiectele și săgețile pot fi entități abstracte de orice fel, iar noțiunea de categorie furnizează o modalitate fundamentală și abstractă de a descrie entitățile matematice și relațiile între ele.
Pe lângă formalizarea matematicii, teoria categoriilor este folosită și pentru a formaliza multe alte sisteme în informatică, cum ar fi semantica limbajelor de programare(d).
Două categorii sunt identice dacă au aceeași colecție de obiecte, aceeași colecție de săgeți, și aceeași metodă asociativă de compunere a oricărei perechi de săgeți. Două categorii diferite pot fi considerate și ele „echivalente(d)” în contextul teoriei categoriilor, chiar dacă nu au exact aceeași structură.
Categoriile cunoscute se notează cu un cuvânt scurt cu inițială majusculă sau cu o abreviere scrisă cu aldine sau italice: printre exemple se numără Set(d), categoria mulțimilor și funcțiilor definite pe mulțimi; Ring(d), categoria inelelor și omomorfismelor de inel(d); și Top(d), categoria spațiilor topologice și a aplicațiilor continue. Toate aceste categorii au aplicația identitate drept săgeată identitate și compunerea(d) ca operație asociativă pe săgeți.