Teorema de Cayley
teorema de representação / De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
Na teoria dos grupos, o teorema de Cayley, nomeado em homenagem a Arthur Cayley, afirma que todo grupo G é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico agindo em G. Isso pode ser entendido como um exemplo da ação de grupo de G sobre os elementos de G.
Uma permutação de um conjunto G é considerada qualquer função bijetiva que leva de um grupo G para G. O conjunto com todas as permutações formam um grupo com composição de funções, este foi chamado de grupo simétrico em G, escrito como Sym(G).
O teorema de Cayley coloca todos os grupos no mesmo barco. Ele considera todo e qualquer grupo como um grupo de permutação de algum conjunto subjacente (incluindo grupos infinitos, como ( R, +)). Dessa forma, teoremas que são verdadeiros para subgrupos de grupos de permutação, são igualmente verdadeiros para grupos em geral. No entanto, Alperin e Bell observaram que "em geral, o fato de grupos finitos estarem contidos em grupos simétricos, não influenciou os métodos usados para estudar os grupos finitos".
A ação regular que foi usada na prova padrão do teorema não produz a determinada representação de A em um grupo de ordem mínima de permutação. Por exemplo, , que já um grupo simétrico de ordem 6, seria representado pela ação regular como um subgrupo de , que é um grupo de ordem 720.[1] Encontrar a incorporação de um grupo em um grupo simétrico de ordem mínima é um problema de alta dificuldade[2] [3]