Mecânica de Lagrange
formulação matemática que combina conservações físicas / De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
A mecânica de Lagrange ou mecânica lagrangiana, nomeada em honra ao seu conceptor, Joseph-Louis Lagrange, é uma formulação da mecânica clássica que combina a conservação do momento linear com a conservação da energia. Exposta pela primeira vez no livro Méchanique Analytique em 1788, a formulação é provida de um potente ferramental matemático equivalente a qualquer outra formulação da mecânica, como por exemplo, o formalismo newtoniano.
Na mecânica lagrangiana, a trajetória de um sistema de partículas é obtida resolvendo as equações de Lagrange em uma de suas duas formas, chamadas equações de Lagrange de primeiro tipo,[1] que trata as restrições explicitamente como equações adicionais, geralmente utilizando os multiplicadores de Lagrange;[2][3] e as equações de Lagrange de segundo tipo, que incorporam as restrições diretamente na escolha das coordenadas generalizadas.[1][4] O lema fundamental do cálculo das variações mostra que resolver as equações de Lagrange é equivalente a encontrar o caminho que minimiza a funcional ação, uma quantidade que é a integral da função de Lagrange no tempo.
Dado um conjunto de coordenadas generalizadas para descrever o sistema físico estudado, a lagrangiana de qualquer sistema o caracteriza de forma unívoca e pode apresentar as seguintes dependências funcionais , em que que são as velocidades generalizadas.
Pelo Princípio de Hamilton,[5] que nos diz que o trajeto real da partícula,[6] entre os instantes e é aquele que minimiza a ação . Fixados os extremos da trajetória no espaço de configuração. Encontramos [7] as equações de Euler-Lagrange
que são equações diferenciais parciais de segunda ordem em .
No caso de um sistema não-conservativo (ou dissipativo), temos
em que são as forças generalizadas externas.
A mecânica lagrangiana é baseada num formalismo escalar mais simples e geral, quando comparado ao formalismo vetorial de Newton. Com isso, ela é capaz de descrever igualmente bem fenômenos a baixas velocidades ou a velocidades relativísticas. O único aspecto que difere entre cada caso é a Função de Lagrange.