Funkcja
typ relacji dwuczłonowej używany w matematyce i innych naukach / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Funkcja?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”[uwaga 1]), odwzorowanie[1][2], przekształcenie[3], transformacja[4] – pojęcie matematyczne używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach:
- dla danych dwóch zbiorów i funkcją nazywano każde przyporządkowanie[uwaga 2] elementom zbioru po jednym elemencie zbioru [uwaga 3][5];
- zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru [6]. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe.
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa „funkcja”. |
Funkcje oznacza się na ogół literami itd. Jeśli funkcja przyporządkowuje elementom zbioru elementy zbioru to pisze się: W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć:
- zbiór nazywa się dziedziną funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów[2], ponieważ jego każdy element nazywa się argumentem tej funkcji[2] lub zmienną niezależną;
- zbiór to przeciwdziedzina tej funkcji lub jej zbiór wartości[2], przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element nazywa się wartością funkcji[2] lub zmienną zależną[7].
Funkcje to szczególne przypadki relacji binarnych. Relacja jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów[2]:
- jednoznaczność[8]:
Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne[9]. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych:
Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia[6]. Leonhard Euler w osiemnastym wieku był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia funkcji[10]. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach Lagrange’a. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak Cauchy, Fourier, Drichlet, czy Reimann[11].
Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki[6] i innych nauk ścisłych; funkcje:
- są głównym przedmiotem badań analizy;
- pozwoliły zdefiniować jedno z podstawowych pojęć kombinatoryki i teorii mnogości: moc zbioru[12].
- pojawiają się w logice matematycznej w postaci funkcji zdaniowych (predykatów) i innych funktorów;
- stały się jednym z fundamentów informatyki, gdzie nazywa się tak odmianę procedury; powstałe całe metody programowania oparte na tym pojęciu jak programowanie funkcyjne;.
Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru do zbioru oznacza się [2].