אנליזה מתמטית
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
אָנָלִיזָה מָתֶמָטִית היא ענף מרכזי במתמטיקה החוקר פונקציות מתמטיות ממשיות ומרוכבות. רציפות של פונקציה, גזירותה, אינטגרביליות והתכנסות של טור איברים - כל אלה הם מושגים חשובים שבהם עוסקת האנליזה. כדי להגדיר מושגים אלה במדויק יש צורך להשתמש ברעיון המרכזי של גבול המפריד בין האנליזה לבין יתר חלקי המתמטיקה: באנליזה יש מעברים גבוליים.[1]
ערך מחפש מקורות | |
האנליזה החלה בחקירת פונקציות ממשיות ובפרט פונקציות ממשיות רציפות.[2] פונקציות רציפות הן פונקציות אותן "ניתן לצייר מבלי להרים את העט מהדף" - פונקציות שאינן נקטעות או קופצות בחדות בין ערכים. הגדרה מדויקת של רציפות מחייבת שימוש במושג הגבול. משפטים מרכזיים בתחום זה הם משפט ערך הביניים, משפטי ויירשטראס ומשפט קנטור לרציפות במידה שווה.
בתוך משפחת הפונקציות הרציפות מתמקדת האנליזה בפונקציות הגזירות - אלו שאין להן "שפיצים" והן חלקות - כלומר, השינויים בהן אינם מיידיים וקיצוניים. לצורך כך מגדירים את הנגזרת.
סכימה של פונקציה בדרך של מעבר גבול היא האינטגרציה. בדרך זו מתקבל סכום מדויק יותר מסכומים שמתבססים על דגימת הפונקציה בנקודות נפרדות, מכיוון שהאינטגרל מביא בחשבון את ערכי הפונקציה בכל אחת מנקודותיה.
האנליזה עוסקת גם בטורים אינסופיים - סכומים אינסופיים שיכולים להיות של מספרים (ואז נשאלת השאלה האם גם סכום הטור הוא מספר) או פונקציות (ואז נשאלת השאלה מהו סוג הפונקציה אליה מתכנס הטור, אם בכלל). בהקשר של טורי פונקציות קיים המושג של התכנסות במידה שווה, שהוא סוג התכנסות של טור פונקציות השומר על התכונות של איבריו (הפונקציות). מקרה פרטי מיוחד בחקר טורי הפונקציות הוא טורי החזקות, שלהתכנסותם יש מספר תכונות מיוחדות; רבות מהפונקציות המוכרות לנו ניתנות להבעה באמצעות טורים אלו, שקל יחסית לחשבם.
רציפות, גזירות, אינטגרציה וסכימת טורים של פונקציות ממשיות - אלה חלקי האנליזה הקלאסיים.