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Somme des n premiers cubes
somme des n premiers entiers élevés au cube / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
La somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers entiers :
.
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Soit, en utilisant la notation plus compacte des sommes et en rappelant la somme d'une série arithmétique :
.
Cette identité est parfois appelée théorème de Nicomaque[1]. C'est un cas particulier de la formule de Faulhaber.
De nombreux mathématiciens historiques ont étudié et démontré cette égalité facile à prouver. Stroeker[2] estime que « chaque personne étudiant la théorie des nombres a dû être émerveillée par ce fait miraculeux ». Pengelley[3] et Bressoud[4] retrouvent cette égalité non seulement dans l’œuvre de Nicomaque (vivant vers l'an 100 dans l'actuelle Jordanie), mais aussi chez Aryabhata en Inde au Ve siècle, chez Al-Karaji vers l'an 1000 en Perse[5], chez Alcabitius en Arabie, chez le Français Gersonide[6] et chez Nilakantha Somayaji (vers 1500 en Inde), ce dernier fournissant une démonstration visuelle (cf. figure ci-contre).
Plusieurs autres démonstrations sont possibles. L'une est fournie par Charles Wheatstone[7], qui développe chaque cube en une somme de nombres impairs consécutifs et utilise le fait que la somme des n premiers nombres impairs est égale à , et que la somme des n premiers entiers est égale au n-ième nombre triangulaire
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Une preuve algébrique plus directe est la suivante :
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Les valeurs de pour les premiers entiers naturels sont : 0, 1, 9, 36, 100, 225, etc. (suite A000537 de l'OEIS).