عدد برنولی
From Wikipedia, the free encyclopedia
اعداد برنولی با نماد Bn در ریاضیات، دنبالهای اند از عددهای گویا که در نظریه اعداد روی میدهد. مقدار ۲۰ عدد برنولی در جدول کناری آمدهاست.
n | کسری | دهدهی |
---|---|---|
0 | 1 | +1.000000000 |
1 | ±1/2 | ±0.500000000 |
2 | 1/6 | +0.166666666 |
3 | 0 | +0.000000000 |
4 | −1/30 | −0.033333333 |
5 | 0 | +0.000000000 |
6 | 1/42 | +0.023809523 |
7 | 0 | +0.000000000 |
8 | −1/30 | −0.033333333 |
9 | 0 | +0.000000000 |
10 | 5/66 | +0.075757575 |
11 | 0 | +0.000000000 |
12 | −691/2730 | −0.253113553 |
13 | 0 | +0.000000000 |
14 | 7/6 | +1.166666666 |
15 | 0 | +0.000000000 |
16 | −3617/510 | −7.092156862 |
17 | 0 | +0.000000000 |
18 | 43867/798 | +54.97117794 |
19 | 0 | +0.000000000 |
20 | −174611/330 | −529.1242424 |
به ازای هر n ناصفر زوج، اگر n بر ۴ بخش پذیر باشد Bn منفی و در غیر این صورت مثبت خواهد بود همچنین به ازای nهای فرد غیر از ۱، Bn صفر خواهد بود.
در فرمول زیر روش انتقال از عدد منفی به مثبت نشان داده شدهاست:
اعداد برنولی، مقدارهای خاصی از چندجملهای برنولی، اند[1] با فرض و .[1]
از آنجایی که به ازای همهٔ اعداد فرد بزرگتر از ۱، Bn = ۰ است بسیاری از فرمولهایی که برای عددهای برنولی ارائه میشود در اصل برای اعداد زوج است و منظور از "Bn" همان B2n است.
اعداد برنولی در گسترش بسط تیلور توابع مثلثاتی و تانژانت توابع هذلولوی، در فرمول فالهابر برای جمع توانهای نخستین اعداد صحیح مثبت ()، در فرمول اویلر-مکلورن و در جاهایی در تابع زتای ریمان دیده میشود.
عددهای برنولی توسط ریاضیدان سوئیسی یاکوب برنولی معرفی شدند و به نام او ثبت شدند اما یک ریاضیدان ژاپنی به نام سکی تاکاکازو نیز این اعداد را شناسایی کرده بود که پس از مرگش در ۱۷۱۲ مقاله اش منتشر شد؛[2][3] کار او کاتسویو سامپو نام داشت.
ایدا لاولیس در نوشتههایش پیرامون موتور تحلیلی از ۱۸۴۲ به توصیف الگوریتمی برای تولید اعداد برنولی توسط ماشین ببیج میپردازد.[4]