Espacio euclídeo
tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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El espacio euclídeo (también llamado espacio euclidiano) es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclidianos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente. El concepto como conjunto, Rn es la serie de n-adas ordenadas de números reales. Es decir:
Rn= {(x1x2…,xn)}| xi ∈ R, i= 1,2,…,n}
caracterizamos un elemento Rn por x= (x1,x2,…,xn). Denotados dos elementos x, y ∈ Rn podemos decir que x= y ⇔ xi= yi ∀i= 1,2,…,n
Con frecuencia a los elementos de Rn se les define vectores, y con las operaciones comunes (adición y el producto de un vector por un escalar) Rn es un espacio vectorial.[1]
Un espacio euclídeo es un espacio vectorial completo dotado de un producto interno (lo cual lo convierte además en un espacio afín, un espacio métrico y una variedad riemanniana al mismo tiempo)....
El término euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios "curvos", de las geometrías no euclidianas y del espacio de la teoría de la relatividad de Einstein. Para resaltar el hecho de que un espacio euclídeo puede poseer n dimensiones, se suele hablar de "espacio euclídeo n-dimensional" (denotado , o incluso ).
Los antiguos Geómetras griegos introdujeron el espacio euclidiano para modelar el espacio físico. Su trabajo fue recogido por el matemático griego antiguo Euclides en sus Elementos,[2] con la gran innovación de probar todas las propiedades del espacio como teoremas, partiendo de unas pocas propiedades fundamentales, llamadas postulados', que o bien se consideraban evidentes (por ejemplo, hay exactamente una línea recta que pasa por dos puntos), o bien parecían imposibles de demostrar ( postulado del paralelo). | Tras la introducción a finales del siglo XIX de las geometrías no euclidianas, los antiguos postulados se formalizaron de nuevo para definir los espacios euclidianos mediante la teoría axiomática. Se ha demostrado que otra definición de los espacios euclidianos mediante espacio vectorial y álgebra lineal es equivalente a la definición axiomática. Es esta definición la que se usa más comúnmente en las matemáticas modernas, y la que se detalla en este artículo.[3] En todas las definiciones, los espacios euclidianos están formados por puntos, que se definen sólo por las propiedades que deben tener para formar un espacio euclidiano.
Esencialmente sólo hay un espacio euclídeo de cada dimensión; es decir, todos los espacios euclídeos de una dimensión dada son isomórficos. Por tanto, en muchos casos, es posible trabajar con un espacio euclídeo concreto, que generalmente es el espacio real n. dotado del producto punto. Un isomorfismo de un espacio euclídeo a asocia a cada punto una n-tupla de números reales que localizan ese punto en el espacio euclídeo y se denominan las coordenadas cartesianas de ese punto.