Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales
valores angulares expresables en forma de relaciones algebraicas entre valores enteros / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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Las expresiones algebraicas exactas de valores trigonométricos pueden ser útiles principalmente para obtener soluciones en forma de radicales que permiten simplificar determinados resultados.
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Todos los números trigonométricos (senos o cosenos de submúltiplos racionales de 360°) son números algebraicos (es decir, soluciones de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros). Además, pueden expresarse en términos de radicales de números complejos; pero no todos ellos pueden expresarse en términos de radicales reales. Cuando lo son, se pueden expresar más específicamente en términos de raíces cuadradas.
Todos los valores de los senos, cosenos y tangentes de los ángulos en incrementos de 3° se pueden expresar en términos de raíces cuadradas, usando identidades (como las del ángulo mitad, las del ángulo doble y las de las sumas y restas de ángulos) y usando los valores conocidos para 0°, 30°, 36°, y 45°. Para un ángulo de un número entero de grados que no es múltiplo de 3° (π/60 radianes), los valores de seno, coseno y tangente no se pueden expresar en términos de radicales reales.
Según el teorema de Niven, los únicos valores racionales de la función seno para los que el argumento es un número racional de grados son 0, 1/2, 1, −1/2 y −1.
Según el teorema de Baker, si el valor de un seno, un coseno o una tangente es algebraico, entonces el ángulo es un número racional de grados o un número trascendente de grados. Es decir, si el ángulo es un número de grados algebraico, pero no racional, todas las funciones trigonométricas tienen valores trascendentes.