Análisis no estándar
formulación alternativa de cálculo utilizando una noción lógicamente rigurosa de números infinitesimales / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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La historia del cálculo está repleta de debates filosóficos sobre el significado y la validez lógica de los números denominados fluxiones o infinitesimales. La forma estándar de resolver estos debates es definir las operaciones de cálculo utilizando procedimientos épsilon-delta en lugar de infinitesimales. El análisis no estándar[1][2][3] reformula el cálculo utilizando una noción lógicamente rigurosa de los números infinitesimales.
La técnica del análisis no estándar se originó a principios de la década de 1960, siendo impulsada por el matemático Abraham Robinson,[4][5] quien escribió:
... la idea de cantidades infinitamente pequeñas o "infinitesimales" parece apelar naturalmente a nuestra intuición. De todos modos, el uso de infinitesimales estuvo muy extendido durante las etapas formativas del Cálculo Diferencial e Integral. En cuanto a la objeción ... de que la distancia entre dos números reales distintos no puede ser infinitamente pequeña, Gottfried Leibniz argumentó que la teoría de los infinitesimales implica la introducción de números ideales que podrían ser infinitamente pequeños o infinitamente grandes en comparación con los números reales, pero que debían "poseer las mismas propiedades que estos últimos".
Robinson argumentó que esta ley de continuidad de Leibniz es un precursor del principio de transferencia, y continuó afirmando que:
Sin embargo, ni él ni sus discípulos y sucesores pudieron dar un desarrollo racional que condujera a un sistema de este tipo. Como resultado, la teoría de los infinitesimales cayó gradualmente en descrédito y finalmente fue reemplazada por la teoría clásica de los límites.[6]
y por último, argumentó que:
... Las ideas de Leibniz pueden ser plenamente reivindicadas y ... conducen a un enfoque novedoso y fructífero del Análisis clásico y de muchas otras ramas de las matemáticas. La clave de nuestro método la proporciona el análisis detallado de la relación entre los lenguajes matemáticos y las estructuras matemáticas que se encuentra en la base de la literatura contemporánea de la teoría de modelos.
En 1973, el intuicionista Arend Heyting elogió curiosamente el análisis no estándar como "un importante modelo estándar de investigación matemática".[7]