Acción (matemática)
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En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo sobre un conjunto es una aplicación que cumple las dos condiciones siguientes:[1]
- , donde es el elemento neutro del grupo.
- .
En tal caso se dice que el grupo actúa sobre , y que el conjunto es un -conjunto.[2]
Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento de , la aplicación es una función biyectiva definida sobre . En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo y el grupo
- .
donde denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominado grupo simétrico de . Se dice que el homomorfismo es una representación del grupo por permutación.[3]