Πρώτος αριθμός
φυσικός αριθμός με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του / From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Ένας φυσικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι πρώτος αριθμός ονομάζεται σύνθετος αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι πρώτος, επειδή οι μόνοι τελειοι διαιρέτες του είναι το 1 και το 5, ενώ το 6 είναι σύνθετος επειδή έχει διαιρέτες του το 2 και 3 εκτός των 1 και 6. Το μηδέν και το ένα δεν θεωρούνται πρώτοι αριθμοί.
Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...
Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί).
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής καθορίζει το βασικό ρόλο των πρώτων αριθμών στη θεωρία αριθμών: κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων. Η μοναδικότητα σε αυτό το θεώρημα προϋποθέτει την εξαίρεση του 1 ως πρώτου αριθμού επειδή ένας πρώτος μπορεί να περιέχει αυθαίρετα πολλές φορές το 1 σε κάθε γινόμενο, για παράδειγμα 3, 1 x 3, 1 x 1 x 3, κ.ο.κ. είναι όλοι παράγοντες του 3.
Μια απλή αλλά αργή μέθοδος για να επαληθευτεί αν ένας δοθείς αριθμός n είναι πρώτος είναι η λεγόμενη δοκιμαστική διαίρεση. Η δοκιμαστική διαίρεση συνίσταται στον έλεγχο αν ο n είναι πολλαπλάσιο κάποιου ακέραιου αριθμού μεταξύ του 2 και του √n. Οι αλγόριθμοι που είναι πολύ πιο αποτελεσματικοί από τη δοκιμαστική διαίρεση έχουν επινοηθεί για να ελέγχουμε αν μεγαλύτεροι αριθμοί είναι πρώτοι. Ιδιαίτερα γρήγορες μέθοδοι είναι διαθέσιμες για αριθμούς ειδικών μορφών, όπως είναι αριθμοί Μερσέν. Ο γνωστός πρώτος αριθμός από τον Δεκέμβριο του 2018 είναι ο M82589933 με 24.862.048 ψηφία.
Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου στο 300 π.Χ. Δεν υπάρχει κανένας γνωστός τύπος ο οποίος να διαχωρίζει όλους τους πρώτους αριθμούς από τους σύνθετους. Ωστόσο, η κατανομή των πρώτων αριθμών, όπως λέμε τη στατιστική συμπεριφορά των πρώτων γενικά, μπορεί να μοντελοποιηθεί. Το πρώτο αποτέλεσμα προς αυτή την κατεύθυνση είναι το θεώρημα πρώτων αριθμών, το οποίο αποδείχτηκε στα τέλη του 19ου αιώνα, το οποίο λέει ότι η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου αριθμού n να είναι πρώτος είναι αντιστρόφως ανάλογη του πλήθους των ψηφίων ή του λογαρίθμου του n.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της θεωρίας αριθμών και είναι μια πολύ ενεργή ερευνητικά περιοχή των μαθηματικών. Πολλά ερωτήματα γύρω από τους πρώτους αριθμούς παραμένουν ανοιχτά, όπως η υπόθεση Ρίμαν, η εικασία του Γκόλντμπαχ, η οποία λέει ότι κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων και η εικασία των διδύμων πρώτων, η οποία λέει ότι υπάρχουν άπειρα σε πλήθος ζευγάρια πρώτων των οποίων η διαφορά είναι 2. Τέτοιες ερωτήσεις οδήγησαν στην ανάπτυξη διάφορων κλάδων της θεωρίας αριθμών, εστιάζοντας στην αναλυτική ή αλγεβρική πλευρά των αριθμών. Οι πρώτοι χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς στην τεχνολογία πληροφοριών, όπως στην Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού, η οποία χρησιμοποιεί ιδιότητες, όπως τη δυσκολία να αναλύεις ένα μεγάλο αριθμό σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί συμβάλλουν σε διάφορες γενικεύσεις σε άλλους μαθηματικούς τομείς, ιδίως στην άλγεβρα, όπως τα στοιχεία πρώτων και τα ιδανικά πρώτων.