Teoría analítica de númberos
From Wikipedia, the free encyclopedia
Nel ámbitu de les matemátiques, la teoría analítica de númberos ye una caña de la teoría de númberos qu'utiliza métodos del analís matemáticu pa resolver problemes sobre los númberos enteros.[1] De cutiu dizse qu'empezó cola introducción de Dirichlet de les funciones L de Dirichlet pa presentar la primer demostración del Teorema de Dirichlet sobre les progresiones aritmétiques.[1][2] Otru finxu importante nesta tema ye'l teorema de los númberos primos.
La teoría analítica de númberos puede estremase en dos partes principales, que s'acomuñar más al tipu de problemes qu'intenten resolver qu'a diferencies fundamentales nes sos téuniques:
- La teoría multiplicativa de númberos trata sobre la distribución de los númberos primos, como por casu envalorar la cantidá de númberos primos que se presenten nun intervalu, ya inclúi el teorema de los númberos primos y el teorema de Dirichlet sobre los primos nes progresiones aritmétiques.
- La teoría aditiva de númberos trata sobre la estructura aditiva de los enteros, tales como la conxetura de Goldbach qu'establez que tou númberu par mayor que dos ye la suma de dos primos. Unos de los resultaos importantes de la teoría aditiva de númberos ye la solución del problema de Waring.
Los desarrollos na teoría analítica de númberos de cutiu son refinamientos de téuniques esistentes, qu'amenorguen los términos d'error y amplian el so aplicabilidad. Por casu, el métodu del círculu d'Hardy y Littlewood que foi desenvueltu p'aplicalo a una serie de potencies cerca del círculu unitariu nel planu complexu; anguaño concíbese como función de sumes esponenciales finitas (dientro del círculu unitariu, pero coles series de potencies truncaes). Les necesidaes de l'aproximamientu diofantina de funciones auxiliares que nun son funciones generatrices – los sos coeficientes son llograos utilizando'l Principiu del palombar (o de Dirichlet)– y entiende a delles variables complexes. Los campos del aproximamientu diofantina y la teoría trascendente estendiéronse, al puntu que les téuniques aplicáronse a la conxetura de Mordell.
El mayor cambéu a nivel téunicu posterior a 1950 foi'l desenvolvimientu de los método de peneráu[3] como ferramienta, particularmente útil en problemes multiplicativos. Estos son de naturaleza combinatoria, y por demás variaos. La caña estrema de la teoría combinatoria foi de la mesma bien influyida pol valor dau a la teoría analítica de númberos pa establecer cotes cimeres ya inferiores. Otru desenvolvimientu recién ye la teoría probabilística de númberos[4], qu'utiliza ferramientes de la teoría de la probabilidá pa envalorar la distribución de funciones teóriques de númberos, tales como cuántos divisores primos tien un númberu.
Unu de los desarrollos recién nesti campu ye la demostración de Green y Tau sobre la existencia de progresiones aritmétiques arbitrariamente llargues nos primos.