狄拉克δ函数
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在科學和數學中,狄拉克δ函數或簡稱δ函數(譯名德爾塔函數、得耳他函數)是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零,且其在整個定義域上的積分等於1。[1][2][3]δ函數有時可看作是在原點處无限高、无限细,但是总面积为1的一個尖峰,在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。[4]
從純數學的觀點來看,狄拉克δ函數並非嚴格意義上的函數,因為任何在擴展實數線上定義的函數,如果在一個點以外的地方都等於零,其總積分必須為零。[5][6]δ函數只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點,δ函數一般可以當做普通函數一樣使用。
狄拉克δ函數得名自物理学家保罗·狄拉克,其形式上所遵守的規則屬於運算微積分(英语:operational calculus)的一部分,是物理學和工程學的標準工具。包括δ函數在內的運算微積分方法,在20世紀初受到數學家的質疑,直到1950年代洛朗·施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。[3]嚴謹地來說,δ函數必須定義為一個分佈,對應於支撐集為原點的概率測度。
在許多應用中,均將δ視為由在原點處有尖峰的函數所組成的序列的極限(弱極限(英语:weak limit)),而序列中的函數則可作為對δ函數的近似。在訊號處理上,δ函數常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函數。[7]克羅內克δ函數是對應於狄拉克δ函數的離散函數,其定義域為離散集,值域可以是0或者1。