Tích phân
một khái niệm và phạm trù toán học liên quan đến toàn bộ quá trình thay đổi của một thực thể nguyên thuỷ phụ thuộc vào biến số khi đã xác định được tốc độ thay đổi của nó / From Wikipedia, the free encyclopedia
Tích phân (Tiếng Anh: integral) là một khái niệm và phạm trù toán học liên quan đến toàn bộ quá trình thay đổi của một thực thể nguyên thuỷ (thực thể đó thường được diễn tả bằng một hàm số phụ thuộc vào biến số được gọi là nguyên hàm) khi đã xác định được tốc độ thay đổi của nó. Tích phân cùng với khái niệm đối lập của nó, vi phân (differential), đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Một ví dụ cơ bản về vai trò của tích phân là ứng dụng của nó trong bài toán tính quãng đường của một chất điểm khi đã biết vận tốc của nó. Một ví dụ khác là bài toán tính thể tích một vật được tạo bởi một mặt phẳng xoay quanh trục cố định khi đã biết về diện tích hay mật độ trên mỗi mặt cắt của vật đó. Về mặt hình học, có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc thể tích được tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật... Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó.
Có thể giải thích về tích phân bằng ngôn ngữ toán học như sau: Cho một hàm f của một biến thực x và một miền giá trị thực [a, b]. Như vậy một tích phân xác định (definite integral) từ a đến b của f(x), ký hiệu là:
được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm f, trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích.
Ta gọi a là cận dưới của tích phân, còn b là cận trên của tích phân.
Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b). Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau:
Nhiều định nghĩa tích phân có thể được xây dựng dựa vào lý thuyết độ đo (measure). Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản.