Sfäriska cosinussatsen
From Wikipedia, the free encyclopedia
Den sfäriska cosinussatsen är en sats inom sfärisk trigonometri som säger att för en sfärisk triangel på en enhetssfär (en sfär med radien 1) gäller att (beteckningar enligt figur 1):
- och
Notera här att längden av storcirkelbågarna a, b, och c är lika med respektive vinkel i sfärens origo (O) i radianer, det vill säga , och , eftersom det är en enhetssfär. Om "sidlängderna" anges i radianer gäller satsen för sfäriska trianglar på alla sfärer.
Den sfäriska cosinussatsen är en sorts motsvarighet till plangeometrins cosinussats för trianglar och ju mindre den sfäriska triangeln är (det vill säga ju mindre vinklar i origo sidorna motsvarar), desto mer närmar sig sidorna räta linjer, och desto mer närmar sig den sfäriska cosinussatsen den plana cosinussatsen.
Om exempelvis är fås en sfärisk "motsvarighet" till Pythagoras sats[1] från den tredje ekvationen ovan:
Cosinus för "hypotenusan", det vill säga den motstående sidan till den räta vinkeln, är lika med produkten av cosinus för "kateterna", det vill säga det två övriga sidorna i den sfäriska triangeln.
Den sfäriska cosinussatsen har tillämpningar vid beräkningar på sfäriska ytor inom exempelvis astronomi, navigation och geodesi.
I den duala cosinussatsen har sidor och hörnvinklar "bytt plats" vilket ger en förvillande lik formel som lyder (beteckningar enligt figur 1):[2]