Conjunto de Mandelbrot
ponto fixo de função iterativa complexa em plano complexo / De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
Em matemática, conjunto de Mandelbrot é um fractal definido como o conjunto de pontos c no plano complexo para o qual a sucessão (sequência, no Brasil) definida recursivamente:
Este artigo apresenta apenas uma fonte. |
não tende ao infinito.
Para cada ponto c do plano complexo, a sequência se expande como:
e assim por diante.
Se reescrevermos a sequência em termos das partes real e imaginária (coordenadas x e y do plano complexo), a cada iteração n, substituindo zn pelo ponto xn + yni e c pelo ponto a + bi, temos:
e
O conjunto de Mandelbrot, em sua representação gráfica, pode ser dividido em um conjunto infinito de figuras pretas, sendo a maior delas um cardióide localizado ao centro do plano complexo. Existe uma infinidade (contável) de quase-círculos (o maior deles é a única figura que, de fato, é um círculo exato e localiza-se à esquerda do cardióide) que tangenciam o cardióide e variam de tamanho com raio tendendo assintoticamente a zero.
Cada um desses círculos tem seu próprio conjunto infinito (contável) de pequenos círculos cujos raios também tendem assintoticamente a zero. Esse processo se repete infinitamente, gerando uma figura fractal que roda em varios graus de rotação anti horário e a figura se move como na sequência abaixo, dos destaques ampliados:
Quando se explora o Conjunto de Mandelbrot com mais resolução (fazendo «zoom») encontram-se sempre réplicas e mais réplicas do conjunto ad infinitum. É uma característica dos objectos fractais. Só a limitada precisão das computações possíveis faz com que, a partir de certa altura, isso deixe de acontecer.