Knuteteori
del av topologien som beskriver de matematiske egenskapene til knuter / From Wikipedia, the free encyclopedia
Knuteteori er den delen av topologien som beskriver de matematiske egenskapene til knuter. I motsetning til en vanlig knute på en snor hvor de to endene er frie (en knop), omhandler knuteteori lukkete knuter hvor endene av snoren er sammenfestet slik at knuten ikke kan knytes opp. Danner snoren en enkel sløyfe uten knuter, kalles sløyfen en nullknute og kan tegnes som en sirkel.
Matematisk beskrives en knute som en avbildning av sirkelen inn i det tredimensjonale, euklidske rommet E3. To knuter anses som identiske hvis den ene kan forandres kontinuerlig over i den andre uten at snoren den er laget av, kuttes opp eller går gjennom seg selv. Hvis rommet derimot hatt fire dimensjoner, kunne alle knuter deformeres på denne måten til nullknuten og dermed løsnes. Man kan derfor ikke knyte skoene sine i rom med mer enn tre dimensjoner.
En og samme knute kan se vidt forskjellig ut. Vanligvis fremstilles en knute ved et knutediagram som er en projeksjon av den på et plan. Hver slik projeksjon vil i alminnelighet se forskjellig ut. Der hvor to linjer krysser hverandre, kalles en krysning. Desto flere slike man har, desto mer komplisert kan knuten være. Men noen ganger kan den deformeres slik at noen eller alle krysningene forsvinner. Et fundamentalt problem i knuteteori er derfor å kunne avgjøre når to knutediagram representerer den samme knuten. Til det formål er det opp gjennom årene funnet stadig nye «knuteinvarianter» som er uavhengige av hvordan knuten beskrives. Dette er nå en sentral del av moderne topologi.
Det er vanlig å la knuteteori også omhandle lenker. Disse består av en eller flere knuter som er lenket sammen. Et vanlig, sirkulært bånd kan betraktes som en lenke med to komponenter hvor hver sidekant av båndet utgjør en knute og vanligvis fremstilles med hver sin farge. Et Möbius-bånd er derimot ingen lenke da dette bare har en sidekant.
Enhver 2-komponent lenke kan tilordnes et lenketall som er en topologisk invariant. Dette ble funnet av Gauss i 1833 og representerer begynnelsen av moderne knuteteori. Det ble gjenoppdaget av Maxwell i 1867 i forbindelse med den matematiske beskrivelsen av Ampères sirkulasjonslov for det magnetiske feltet.
Knuteteori har praktiske anvendelser i beskrivelsen av polymerer og deres forskjellige konfigurasjoner. Spesielt har dette vært nyttig i forbindelse med å forstå DNA-molekylet og hvordan det kan pakkes tett sammen i forskjellige celler. Dette molekylet kan ofte betraktes som en lenke bestående av to fosforiserte sukkerstrenger som danner et bånd. Et slikt bånd kan krølle seg opp i en knute som kan være vanskelig å løsne. Det tilsvarer den «båndsalat» som kan oppstå fra båndet i en kassettspiller når dette løsner fra spolen.