೧-೨+೩-೪…..
From Wikipedia, the free encyclopedia
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, 1 − 2 + 3 - 4 + · · ಒಂದು ಅನಂತ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸತತ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಮೀ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಿಗ್ಮಾ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಅಪಸರಣ ಎಂದರೆ ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ (1, -1, 2, -2, ...) ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬರೆದರು:
ಆದರೆ ಬಹಳ ಸಮಯದ ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮಹತ್ವವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. 1980 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅರ್ನೆಸ್ಟೊ ಸೆಸ್ರೊ, ಮೈಲ್ ಬೊರೆಲ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಹೊಸ ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. 1 − 2 + 3 - 4 + ... ನ "ಮೊತ್ತ" ವನ್ನು ವಿವಿಧ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ 1⁄4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಸೆಸ್ರೊ-ಸಂಕಲನವು 1 - 2 + 3 - 4 + ... ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯು ಅಬೆಲ್ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನದಂತಹ ಸ್ವಲ್ಪ ಬಲವಾದ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಸರಣಿ 1 - 2 + 3 - 4 + ... ಗ್ರ್ಯಾಂಡಿ ಸರಣಿ 1 - 1 + 1 - 1 + ... ಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಯೂಲರ್ ಈ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳನ್ನು 1 - 2n + 3n - 4n + ... ಸರಣಿಯ ವಿಶೇಷ ಷರತ್ತುಗಳಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು (n ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ), ಮತ್ತು ಅವರ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಾಸೆಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ನಂತರ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಇವುಗಳನ್ನು ಈಗ ಡಿರಿಚ್ಲೆ ಎಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.