משפט המספרים הראשוניים
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את הצפיפות האסימפטוטית של מספר המספרים הראשוניים. לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב- את מספר המספרים הראשוניים שאינם עולים על (פונקציית המספרים הראשוניים).
משפט המספרים הראשוניים קובע כי (כאשר הוא הלוגריתם הטבעי, והטילדה היא סימון אסימפטוטי), כלומר, כאשר גדול מספיק, מספרם של הראשוניים שאינם עולים על הוא (בקירוב סביר) . את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים. הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי אדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות אנליזה מרוכבת.
גרסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן. לא קשה להוכיח שהיחס בין חסום בין ל-. צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין ל-, ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל-1 (מנקודת מבט זו, אדמר ופוסן היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את תוצאתו של צ'בישב, כבדרך אגב).