חלקיק בפוטנציאל מרכזי
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במכניקת הקוונטים, חלקיק בפוטנציאל מרכזי הוא מערכת קוונטית עם פוטנציאל שתלוי רק במרחק בין החלקיק ונקודת המוקד של הכוח המרכזי. דוגמה אחת למערכת כזו היא האלקטרון באטום המימן. הפוטנציאל בו מצוי האלקטרון תלוי רק במרחקו מהפרוטון שבגרעין אטום המימן. פוטנציאל זה ניתן לגזירה מחוק קולון.
במקרה הכללי, הדינמיקה של חלקיק בפוטנציאל ספרי סימטרי נשלטת על ידי המילטוניאן מהצורה:
כאשר היא מסת החלקיק, הוא אופרטור התנע, והפוטנציאל תלוי רק ב-, כלומר באורך הרדיוס וקטור. המצבים הקוונטיים האפשריים של החלקיק ניתנים לחישוב דרך משוואת שרדינגר עבור ההמילטוניאן הנתון, ממנה ניתן למצוא את הערכים העצמיים של הגדלים הפיזיקליים הרלוונטיים כמו גם את המצבים העצמיים המתאימים להם, שהם פונקציות גל.
כדי לתאר את המערכות הספריות הסימטריות הללו, טבעי להשתמש בקואורדינטות כדוריות , ו-. לאחר שכותבים את משוואת שרדינגר בקואורדינטות אלו, משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן בעבור מערכת כזו היא פרידה. פירוש הדבר שפתרון החלק הזוויתי של המשוואה ניתן לקביעה באופן בלתי תלוי בחלק הרדיאלי. זה מותיר משוואה דיפרנציאלית רגילה במונחי הרדיוס בלבד, אשר ממנה נגזרים המצבים העצמיים בעבור הפוטנציאל הנתון.