Teoría de la aproximación
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En matemáticas, la teoría de la aproximación se refiere a cómo las funciones pueden ser aproximadas con otras funciones más simples, incluyendo la caracterización cuantitativa del error introducido. Debe tenerse en cuenta que lo que se entiende por mejor y más simple depende del uso que quiera darse a la aproximación, y de los recursos de cálculo necesarios.[1]
Un tema estrechamente relacionado es la aproximación de funciones mediante series de Fourier generalizadas, es decir, aproximaciones fundamentadas en la suma de una serie de términos basados en polinomios ortogonales.[2]
Un problema de particular interés es el de aproximar una función en una biblioteca matemática de una computadora, utilizando operaciones que pueden realizarse fácilmente en el dispositivo (por ejemplo, la suma y la multiplicación), de modo que el resultado sea lo más cercano posible a la función buscada. Esto normalmente se hace con aproximaciones polinómicas o racionales (relación de polinomios).
El objetivo es hacer que la aproximación sea lo más cercana posible a la función real, generalmente con una precisión cercana a la de la aritmética en coma flotante de la computadora subyacente. Esto se logra mediante el uso de un polinomio de alto grado, y/o estrechando el dominio sobre el que el polinomio tiene que aproximar la función.
La reducción del dominio a menudo se puede hacer mediante el uso de varias fórmulas de adición o escalado para la función que se aproxima. Las bibliotecas matemáticas modernas a menudo reducen el dominio en muchos segmentos pequeños y usan un polinomio de bajo grado para cada segmento.
El problema de la aproximación surgió muy temprano en geometría, para las funciones trigonométricas: son funciones cuyas propiedades conocemos (paridad, diferenciabilidad, valores en puntos particulares) pero que no se expresan a partir de operaciones que se pueden realizar a mano (las cuatro operaciones). Esto llevó a la noción de desarrollo en serie. Así, se crearon las tablas trigonométricas, luego, con un enfoque similar, las tablas logarítmicas y, en general, tablas para funciones comúnmente utilizadas en ciencia, como la raíz cuadrada.
Un problema particularmente interesante es el de aproximar funciones por otras definidas únicamente a partir de operaciones informáticas básicas, como la suma y la multiplicación, para crear bibliotecas de funciones matemáticas cuya ejecución produzca valores lo más cercanos posible a los valores teóricos. Esto se llama aproximación polinómica o racional (es decir, uso de funciones racionales).
El objetivo es proporcionar una aproximación lo más precisa posible de una función real dada, para proporcionar los valores más exactos posibles, con la precisión de la aritmética de coma flotante de una computadora. Este objetivo se logra utilizando un polinomio de alto grado y/o reduciendo el dominio sobre el cual el polinomio debe aproximarse a la función. A menudo se puede realizar una reducción de dominio, aunque esto requiere una composición por otras funciones afines (lineales) de la función que se va a aproximar. Las bibliotecas matemáticas modernas a menudo reducen el dominio dividiéndolo en múltiples segmentos pequeños y emplean un polinomio de bajo grado en cada segmento.
Una vez elegidos el dominio y el grado del polinomio, se elige el polinomio en sí para minimizar el error en el peor de los casos. En otras palabras, si f es la función real y P el polinomio que debe tender a f, debemos minimizar el límite superior de la función en el dominio. Para una función “adecuada”, un polinomio óptimo de grado N se caracteriza por una curva de error cuyo valor oscila entre +ε y -ε y que cambia de signo N + 1 veces, dando un error en los peores casos de ε. Es posible construir funciones f para las cuales esta propiedad no se cumple, pero en la práctica generalmente es cierta.