Asociatividad (álgebra)
en álgebra y lógica proposicional, propiedad de las operaciones que se pueden reagrupar sin cambiar el resultado / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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La asociatividad es una propiedad en el álgebra y la lógica proposicional que se cumple, si dados tres o más elementos cualquiera de un conjunto determinado, se verifica que existe una operación: , que cumpla la igualdad:
Es decir, en una expresión asociativa con dos o más ocurrencias seguidas de un mismo operador asociativo, el orden en que se ejecuten las operaciones no altera el resultado, siempre y cuando se mantenga intacta la secuencia de los operandos. En otras palabras, reorganizar los paréntesis en una expresión asociativa no cambia su valor final.
La suma y el producto de números reales cumplen la propiedad asociativa, siendo válidas las igualdades:
para la suma y para la multiplicación:
En ambas, la ubicación de los paréntesis no altera el resultado. Nótese que los operandos se han mantenido en su posición original dentro de la expresión. Muchas operaciones importantes son no asociativas, por ejemplo la resta y la exponenciación. Las expresiones que contienen tanto operaciones asociativas como operaciones no asociativas dan como resultado expresiones no asociativas.
No se debe confundir la asociatividad con la conmutatividad, la cual establece que sí se puede cambiar el orden de los operandos sin afectar el resultado final.
Dentro de una expresión que contenga dos o más apariciones seguidas del mismo operador asociativo, el orden en que se realicen las operaciones no importa siempre que no se cambie la secuencia de los operandos. Es decir (después de reescribir la expresión con paréntesis y en notación infija si es necesario), reordenar los paréntesis en dicha expresión no cambiará su valor. Consideremos las siguientes ecuaciones:
Aunque los paréntesis se han reordenado en cada línea, los valores de las expresiones no se han alterado. Dado que esto es cierto cuando se realiza la suma y la multiplicación de cualquier número real, se puede decir que "la suma y la multiplicación de números reales son operaciones asociativas".
La asociatividad no es lo mismo que la conmutatividad, que se refiere a si el orden de dos operandos afecta al resultado. Por ejemplo, el orden no importa en la multiplicación de números reales, es decir, a × b = b × a}}, por lo que decimos que la multiplicación de números reales es una operación conmutativa. Sin embargo, operaciones como la composición de funciones y la multiplicación de matrices son asociativas, pero (generalmente) no conmutativas.
Las operaciones asociativas son abundantes en matemáticas; de hecho, muchas estructuras algebraicas (como semigrupos y categorías) requieren explícitamente que sus operaciones binarias sean asociativas.
Sin embargo, muchas operaciones importantes e interesantes no son asociativas; algunos ejemplos son la resta, la exponenciación y el producto vectorial cruzado. En contraste con las propiedades teóricas de los números reales, la suma de números de coma flotante en informática no es asociativa, y la elección de cómo asociar una expresión puede tener un efecto significativo en el error de redondeo.