Operador unitario
operador acotado sobreyectivo en un espacio de Hilbert que conserva el producto interno / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
En análisis funcional un operador unitario es un operador lineal U : H → H en un espacio de Hilbert que satisface:
donde U∗ es el operador adjunto de U, y I : H → H es el operador identidad. Es equivalente a lo siguiente:
- El rango de U es un conjunto denso, y
- U conserva el producto escalar 〈 , 〉 en el espacio de Hilbert , i.e. para todo vector x e y en el espacio de Hilbert,
Para comprender esto hay que tener en cuenta que el hecho de que U conserve el producto escalar implica que U es una isometría. El hecho de que U tenga un rango denso asegura que tenga inverso U−1. Está claro que U−1 = U∗.
Además, los operadores unitarios son automorfismos del espacio de Hilbert i.e. preservan su estructura (en este caso, la estructura lineal del espacio, el producto escalar y por tanto la topología del espacio en el que actúan. El grupo de todos los operadores unitarios de un espacio de Hilbert dado H se denomina grupo de Hilbert de H, denotado Hilb(H)
La condición U∗U = I define la isometría. Otra condición U U∗ = I define la coisometría
Un elemento unitario es una generalización de un operador unitario. En una álgebra unitaria, un elemento U del álgebra se denomina unitario si:
donde I es el elemento identidad.