Espacio de posiciones y momentos
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En física y geometría, existen dos espacios vectoriales muy relacionados, habitualmente tridimensionales, aunque en general pueden tener cualquier dimensión.
El espacio de posiciones (también llamado espacio real o espacio coordenado) es el conjunto de todos los vectores de posición r en el espacio, y tiene dimensiones de longitud. Un vector de posición define un punto en el espacio. Si el vector de posición de una partícula puntual varía con el tiempo describirá un camino, la trayectoria de una partícula. El espacio de momentos es el conjunto de todos los vectores momento p que puede tener un sistema físico. El vector momento de una partícula corresponde a su movimiento, con unidades de [masa][longitud][tiempo]−1.
Matemáticamente, la dualidad entre posición y momento es un ejemplo de dualidad de Pontryagin. En particular, si una función se da en espacio de posiciones, f(r), entonces su transformada de Fourier resulta la función en el espacio de momentos, φ(p). Análogamente, la transformada inversa de una función del espacio de momentos es una función del espacio de posiciones.
Estas cantidades e ideas trascienden toda la física clásica y cuántica, y un sistema físico se puede describir usando tanto las posiciones de las partículas que lo constituyen como sus momentos, ambas formulaciones proveen equivalentemente la misma información sobre el sistema considerado. Es útil definir otra cantidad en el contexto de ondas. El vector de onda k (o simplemente «k-vector») tiene dimensiones de longitud recíproca, haciéndolo un análogo de la frecuencia angular ω, que tiene dimensiones de tiempo recíproco. El conjunto de todos los vectores de onda es el k-espacio. Habitualmente r es más intuitivo y simple que k, aunque en algunos casos ocurre al contrario, como en física del estado sólido.
La mecánica cuántica provee dos ejemplos fundamentales de la dualidad entre la posición y el momento: el principio de indeterminación de Heisenberg ΔxΔp ≥ ħ/2, que afirma que no se puede conocer simultáneamente la posición y el momento con precisión arbitraria, y la relación de De Broglie p = ħk que afirma que el momento y el vector de onda de una partícula libre son proporcionales entre sí.[1] En este contexto, cuando no existe ambigüedad, los términos «momento» y «vector de onda» se usan indistintamente. Sin embargo, la relación de De Broglie no es cierta en un cristal.