Dualidad (matemática)
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En matemáticas, una dualidad, en términos generales, traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras, mediante una correspondencia uno a uno, a menudo (pero no siempre) por medio de una operación de involución: si el dual de A es B, entonces el dual de B es A. Tales involuciones a veces tienen puntos fijos, de modo que el dual de A es A en sí mismo. Por ejemplo, el teorema de Desargues expresa una condición auto dual en este sentido bajo el concepto de dualidad en geometría proyectiva.
Dualidad entre centros de cara y vértices del dodecaedro y del icosaedro | |
Dualidad entre centros de cara y vértices del octaedro y del cubo |
En contextos matemáticos, el término dualidad tiene numerosos significados,[1] aunque es «un concepto muy dominante e importante en matemáticas (modernas)»[2] y «un tema general de gran interés que tiene manifestaciones en casi todas las áreas de las matemáticas».[3]
Muchas dualidades matemáticas entre objetos de dos tipos corresponden a emparejamientos, que mediante operadores bilineales relacionan un objeto de un tipo y otro objeto de un segundo tipo a una familia de escalares. Por ejemplo, la «dualidad en álgebra lineal» se corresponde de esta manera con aplicaciones bilineales de pares de espacios de vectores a escalares, la «dualidad entre distribuciones y las funciones de prueba asociadas» corresponde al emparejamiento en el que se integra una distribución con una función de prueba, y la dualidad de Poincaré corresponde de manera similar al número de intersecciones, visto como un emparejamiento entre subvariedades de una colección de objetos matemáticos determinada.[4]
Desde el punto de vista de la teoría de categorías, la dualidad también se puede ver como un funtor, al menos en el ámbito de los espacios vectoriales. Este funtor asigna a cada espacio su espacio dual, y la construcción de retorno asigna a cada flecha
- f: V → W su dual f∗: W∗ → V∗
En teoría de conjuntos y en lógica matemática el concepto de dualidad también desempeña un papel esencial.