Derivada de la aplicación exponencial
Operación ligada con el álgebra de Lie / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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En la teoría de los grupos de Lie, la aplicación exponencial es una correspondencia del álgebra de Lie g de un grupo de Lie G sobre G. En el caso de que G sea un grupo de Lie matricial, la aplicación exponencial se reduce a la matriz exponencial. La aplicación exponencial, denotada exp:g → G, es analítica y tiene como derivada d/dtexp(X(t)):Tg → TG, donde X(t) es una ruta C1 en el álgebra de Lie, y un diferencial estrechamente relacionado dexp:Tg → TG.[2]
La fórmula para obtener dexp fue probada por primera vez por Friedrich Schur (1891).[3] Más tarde fue elaborada por Henri Poincaré (1899) en el contexto del problema de expresar la multiplicación de grupos de Lie usando términos algebraicos de Lie.[4] También se conoce a veces como la fórmula de Duhamel.
La fórmula es importante tanto en matemática pura como aplicada. Entra en pruebas de teoremas como la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, y se usa con frecuencia en física,[5] tanto en la teoría de campos cuánticos, como en la expansión de Magnus en la teoría de perturbaciones y en la teoría de calibre de retículas.
En todo momento, las notaciones exp(X) y eX se usarán indistintamente para denotar el exponencial dado un argumento, excepto cuando, como se señaló, las notaciones tienen significados distintos. Aquí se prefiere la notación utilizada en el cálculo para una mejor legibilidad de las ecuaciones. Por otro lado, el estilo exp es a veces más conveniente para las ecuaciones en línea, y es necesario en las raras ocasiones en las que hay que hacer una distinción real.