Διακριτά μαθηματικά
From Wikipedia, the free encyclopedia
Διακριτά μαθηματικά ονομάζεται η μελέτη μαθηματικών δομών που είναι θεμελιωδώς διακριτές αντί για συνεχείς. Σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς που έχουν την ιδιότητα να "μεταβάλλονται ομαλά", τα αντικείμενα που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά - όπως οι ακέραιοι, οι γράφοι και οι προτάσεις της λογικής[1] – δεν μεταβάλλονται ομαλά κατά αυτόν τον τρόπο, αλλά έχουν ξεχωριστές, διακριτές τιμές.[2] Τα διακριτά μαθηματικά επομένως αποκλείουν θέματα των "συνεχών μαθηματικών", όπως ο απειροστικός λογισμός και η ανάλυση. Συχνά τα διακριτά αντικείμενα μπορούν να απαριθμηθούν με βάση τους ακέραιους. Τυπικότερα, τα διακριτά μαθηματικά έχουν χαρακτηριστεί ως ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με αριθμήσιμα σύνολα[3] (σύνολα που έχουν την ίδια πληθικότητα με τα υποσύνολα των φυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των ρητών αριθμών αλλά όχι και των πραγματικών αριθμών). Όμως, δεν υπάρχει κάποιος ακριβής και καθολικά αποδεκτός ορισμός του όρου "διακριτά μαθηματικά."[4] Στην πράξη τα διακριτά μαθηματικά περιγράφονται λιγότερο από το τι περιέχουν και περισσότερο με βάση τι δεν περιέχουν: συνεχείς μεταβλητές και σχετικές με αυτές έννοιες.
Το σύνολο των αντικειμένων που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Συχνά χρησιμοποιείται ο όρος πεπερασμένα μαθηματικά για μέρη του πεδίου των διακριτών μαθηματικών που ασχολούνται με πεπερασμένα σύνολα, και ειδικότερα όταν αυτό έχει σχέση με εφαρμογές στο χώρο των επιχειρήσεων.
Η έρευνα στα διακριτά μαθηματικά αναπτύχθηκε πολύ γρήγορα στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα, εν μέρει λόγω της ανάπτυξης των ψηφιακών υπολογιστών, οι οποίοι λειτουργούν σε διακριτά βήματα και αποθηκεύουν τα δεδομένα τους σε διακριτά bits. Οι έννοιες και ο μαθηματικός συμβολισμός των διακριτών μαθηματικών χρησιμεύουν στη μελέτη και την περιγραφή αντικειμένων και προβλημάτων διάφορων κλάδων της επιστήμης υπολογιστών, όπως οι υπολογιστικοί αλγόριθμοι, οι γλώσσες προγραμματισμού, η κρυπτογραφία, η αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων και η ανάπτυξη λογισμικού. Από την άλλη πλευρά, υλοποιήσεις σε υπολογιστές εφαρμόζουν τις ιδέες των διακριτών μαθηματικών σε πραγματικά προβλήματα, όπως στην επιχειρησιακή έρευνα.
Αν και τα βασικά αντικείμενα που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά είναι διακριτά αντικείμενα, για την απόδειξη θεωρημάτων κάποιες φορές χρησιμοποιούνται συναρτήσεις και ιδιότητες των πραγματικών ή ακόμη και των μιγαδικών αριθμών.