Siebzehneck
geometrische Figur / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
Liebe Wikiwand-AI, fassen wir uns kurz, indem wir einfach diese Schlüsselfragen beantworten:
Können Sie die wichtigsten Fakten und Statistiken dazu auflisten Siebzehneck?
Fass diesen Artikel für einen 10-Jährigen zusammen
Das Siebzehneck, 17-Eck oder Heptadekagon ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Im Folgenden werden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, sowie das regelmäßige überschlagene Siebzehneck beschrieben.
Mehr als 2000 Jahre war man aufgrund von Fehlversuchen überzeugt, das Siebzehneck sei nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Erst Ende des 18. Jahrhunderts entdeckte der damals achtzehnjährige Carl Friedrich Gauß eine Formel, mit deren Hilfe die Konstruktion gelingt. Die Idee hinter seiner Entdeckung ist, dass Punkte, die sich mit Zirkel und Lineal aus zum Beispiel dem Ursprung und dem Punkt konstruieren lassen, stets bestimmte lineare oder quadratische Gleichungen erfüllen müssen. Diese Gleichungen haben Koeffizienten, die sich aus den bisher schon konstruierten Punkten mit den vier Grundrechenarten bestimmen lassen. Hintergrund ist, dass von Linealen erzeugte Geraden durch lineare Gleichungen bzw. von Zirkeln erzeugte Kreise durch quadratische Gleichungen gegeben sind. Gauß’ Leistung bestand unter anderem darin, die für das Siebzehneck kritische Größe (mit dem Kosinus und der Kreiszahl ) durch eine Verschachtelung von Quadratwurzeln ganzer Zahlen auszudrücken, was eine zwar mühsame, aber dennoch in endlich vielen Schritten ausführbare Konstruktion ermöglicht. Dabei spielen die Eigenschaften der Fermatschen Primzahl eine entscheidende Rolle. Aus Sicht der modernen Mathematik handelt es sich hierbei um eine Anwendung der Galois-Theorie. In deren Rahmen ist es zudem von Nutzen, die Punkte der Ebene als Werte des Körpers der komplexen Zahlen auszudrücken, da dies das „Rechnen mit Punkten“ vereinfacht.
Die im Folgenden beschriebenen Konstruktionen für ein Siebzehneck sind eine Auswahl aus Lösungen mit sehr unterschiedlichen Vorgehensweisen.