Matematický důkaz
matematická demonstrace pravdivosti tvrzení / From Wikipedia, the free encyclopedia
Matematický důkaz je deduktivní úvaha pro matematický výrok, která ukazuje, že uvedené předpoklady logicky zaručují závěr. Argument může využívat i jiná dříve prokázaná tvrzení, například matematické věty, ale každý důkaz lze v zásadě sestavit pouze s použitím určitých základních nebo výchozích předpokladů, známých jako axiomy,[1][2][3] spolu s přijatými pravidly odvozování. Důkazy jsou příklady vyčerpávajícího deduktivního usuzování, které zakládá logickou jistotu, jež je třeba odlišit od empirických argumentů nebo nevyčerpávajícího induktivního usuzování, které zakládá pouze tzv. „rozumné očekávání“. Pro důkaz nestačí předložit mnoho případů, v nichž tvrzení platí, důkaz musí prokázat, že tvrzení je pravdivé ve všech možných případech. Výrok, který nebyl dokázán, ale o němž se předpokládá, že je pravdivý a pokud se často používá jako předpoklad pro další matematickou práci, se nazývá domněnka nebo hypotéza.
Důkazy používají logiku vyjádřenou matematickými symboly a přirozený jazyk, který obvykle připouští určitou nejednoznačnost. Ve většině matematické literatury jsou důkazy psány v termínech přísné neformální logiky. Čistě formální důkazy, zapsané plně v symbolickém jazyce bez zapojení přirozeného jazyka, jsou uvažovány v teorii důkazů. Rozdíl mezi formálními a neformálními důkazy vedl k mnoha zkoumáním současné i historické matematické praxe, kvaziempirismu v matematice a tzv. matematického folklóru, ústní tradice v běžné matematické komunitě nebo v jiných kulturách. Filosofie matematiky se zabývá úlohou jazyka a logiky v důkazech a matematikou jako jazykem.