Demostració (matemàtiques)
raonament realitzat amb una lògica vàlida / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, una demostració, també dita prova, és un raonament lògic que estableix la veritat d'una proposició matemàtica. A partir d'axiomes (suposats vertaders per definició) o teoremes (altres proposicions matemàtiques demostrades a partir dels axiomes) i en aplicar regles d'inferència vàlides, hom mostra que una altra proposició també és vertadera.
Com que les matemàtiques són una ciència formal, no empírica, la demostració ha de ser un argument que no apel·li a cap fet empíric. Les proves s'obtenen de raonaments deductius, en lloc de raonaments inductius o arguments empírics. Això vol dir que una prova ha de demostrar que una proposició és certa en tots els casos sense una sola excepció. El rigor de la metodologia matemàtica exigeix que cap proposició no s'accepti com a vàlida fins que hom no en conegui una demostració correcta. Els enunciats matemàtics demostrats que es consideren d'una especial rellevància s'anomenen teoremes i els d'importància menor lemes o corol·laris. Una proposició matemàtica que no ha estat provada ni refutada i per la qual hi ha algunes intuïcions que fan pensar que és vertadera, és una conjectura o una hipòtesi.
Les demostracions matemàtiques normalment s'escriuen i s'expliquen en llenguatge natural (amb un cert nivell d'artifici formal propi del quefer matemàtic), i això pot deixar lloc a una certa ambigüitat. És per això que la teoria de la demostració ha desenvolupat mètodes per formalitzar completament el raonament matemàtic i poder així determinar amb tota precisió la noció de demostració matemàtica vàlida. Aquestes investigacions han tingut sens dubte un gran valor per a la fonamentació i la filosofia de la matemàtica.
Entre els mètodes de demostració habituals en matemàtiques podem enumerar la demostració directa, la demostració per inducció en els naturals, la demostració per contradicció o reducció a l'absurd, la demostració per separació de casos, la demostració constructiva, etcètera.