Categoria (matemàtiques)
estructura matemàtica de la teoria de categories / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, una categoria (de vegades anomenada categoria abstracta per distingir-la d'una categoria concreta) és una col·lecció d'"objectes" que s'enllacen mitjançant "fletxes". Una categoria té dues propietats bàsiques: la possibilitat de compondre les fletxes de manera associativa, i l'existència d'una fletxa identitat per a cada objecte. Un exemple senzill és la categoria de conjunts, els objectes de la qual són conjunts i les fletxes de la qual són funcions.
La teoria de categories és una branca de les matemàtiques que persegueix generalitzar totes les matemàtiques en termes de categories, independentment de què representin els seus objectes i les seves fletxes. Gairebé qualsevol branca de les matemàtiques modernes es pot descriure en termes de categories, i amb aquesta aproximació de vegades es revelen similaritats profundes entre àrees de les matemàtiques aparentment diferents entre si. Com a tal, la teoria de categories proporciona uns fonaments alternatius a la teoria de conjunts. En general, els objectes i les fletxes poden ser entitats abstractes de qualsevol classe, i la idea de categoria proporciona una manera fonamental i abstracta de descriure les entitats matemàtiques i les seves interrelacions.
A més de formalitzar les matemàtiques, la teoria de categories també s'utilitza per formalitzar molts altres sistemes en ciències de la computació, com ara la semàntica dels llenguatges de programació.
Dues categories són iguals si tenen la mateixa col·lecció d'objectes, la mateixa col·lecció de fletxes, i la mateixa manera associativa de compondre qualsevol parell de fletxes. Dues categories diferents també es poden considerar equivalents, encara que no tinguin exactament la mateixa estructura.
Algunes categories conegudes es denoten per una paraula o abreviació amb inicial majúscula en negreta o cursiva: per exemple, Set, la categoria de conjunts i funcions; Ring, la categoria d'anells i homomorfismes d'anells; i Top, la categoria d'espais topològics i aplicacions contínues. Totes les categories anteriors tenen l'aplicació identitat com a fletxa identitat i la composició com l'operació associativa sobre les fletxes.
El llibre de text clàssic i encara molt utilitzat en teoria de categories és Categories for the Working Mathematician de Saunders Mac Lane.
Qualsevol monoide es pot interpretar com una classe especial de categoria (amb un sol objecte, els automorfismes del qual es representen mitjançant elements del monoide); anàlogament en el cas dels preordres.