1 − 2 + 3 − 4 + ...
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, l'expressió 1 − 2 + 3 − 4 + ... és una sèrie matemàtica infinita, els termes de la qual són els nombres enters positius que alternen els seus signes. Utilitzant la notació matemàtica per a sumatoris, la suma dels m primers termes de la sèrie s'expressa com a:
És una sèrie divergent, en el sentit que la successió de les sumes parcials (1, −1, 2, −2, ...) no té cap límit finit. En forma equivalent es diu que 1 − 2 + 3 − 4 + ... no té cap suma.
Malgrat tot, a mitjans del segle xviii, Leonhard Euler planteja la relació següent qualificant-la de paradoxal:
No serà fins molt de temps després que s'aconsegueix donar una explicació rigorosa d'aquesta equació. Fins al començament de la dècada del 1890, Ernesto Cesàro i Émile Borel, entre d'altres, investigaren mètodes ben definits per a trobar sumes generalitzades de les sèries divergents, incloses noves interpretacions dels intents realitzats per Leonhard Euler. Molts d'aquests mètodes anomenats de sumació assignen a (1 − 2 + 3 − 4 + ...) una "suma" de ¼. El mètode de suma de Cesàro és un dels pocs mètodes que no suma la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ..., i per això aquesta sèrie és un exemple d'un cas en què s'ha d'utilitzar un mètode més robust com ara el mètode de sumació d'Abel.
La sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ... es troba relacionada amb la sèrie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + ... Euler analitzà aquestes dues sèries com a casos especials de (1 − 2n + 3n − 4n + ...) per a valors de n arbitraris, una línia d'investigació que estén la seva contribució al problema de Basilea i condueix a les equacions funcionals del que es coneix actualment com a funció eta de Dirichlet i la funció zeta de Riemann.