Аксиома
From Wikipedia, the free encyclopedia
Аксиома или постулат в класическата логика е твърдение, което не е доказано, а се разглежда като самоподразбиращо се или като неизбежно произволно приемане. Твърдението се приема за вярно и служи като основа за извеждането на други дедуктивни истини.[1]
В математиката „аксиома“ има две свързани, но различаващи се значения – на логически аксиоми и на нелогически аксиоми. И в двата смисъла аксиомата е математическо твърдение, което служи като начална точка за логическото извеждане на други твърдения. За разлика от теоремите, аксиомите не могат да бъдат изведени чрез принципите на дедукцията, нито правилността им да може да бъде демонстрирана чрез математическо доказателство, тъй като те са начални точки на дедукцията и не са логическо следствие на други твърдения.
Логическите аксиоми са твърдения, приемани за универсално истинни (например, A и B включва A), докато нелогическите аксиоми (например, a + b = b + a) са дефиниращи характеристики на дадена математическа теория (в примера – на аритметиката). Във второто значение понятието „аксиома“ е заменимо с „постулат“ или „приемане“. Нелогическите аксиоми не са самоподразбиращи се истини, а формални логически изрази, използвани за дедуцирането на определена теория. За да се аксиоматизира дадена система от знание, трябва да се покаже, че нейните твърдения могат да бъдат изведени от малко и ясно определено множество съждения – аксиоми. Обикновено има повече от един начин за аксиоматизиране на дадена математическа област.
В миналото математиците разглеждат аксиоматичната геометрия, описана от Евклид, като модел на физическото пространство, от което следва и нейната единственост. Идеята за съществуване на алтернативни математически системи е силно проблематична за математиците от 19 век, а основоположниците на системи като булевата алгебра правят големи усилия да ги изведат от традиционната аритметика. Пръв Еварист Галоа показва, че тези усилия са безсмислени. През следващите десетилетия надделява мнението, че абстрактните сходства между алгебричните системи са по-съществени от разликите в подробностите, което довежда до появата на съвременната абстрактна алгебра. Днес се приема, че е валидна всяка вътрешно съвместима система от аксиоми без да се търсят емпирични доводи за това.